Гипотеза Ландера — Паркина — Селфриджа

Эта статья находится на начальном уровне проработки, в одной из её версий выборочно используется текст из источника, распространяемого под свободной лицензией
Материал из энциклопедии Руниверсалис

Гипотеза Ландера — Паркина — Селфриджа в теории чисел является предположением об условиях существования решений в натуральных числах уравнений для сумм одинаковых степеней неизвестных. Эти уравнения являются обобщением уравнений великой теоремы Ферма.

Предыстория

Целочисленные решения диофантовых уравнений, например, целочисленные решения уравнения [math]\displaystyle{ a^2 + b^2 = c^2 }[/math], связанного с теоремой Пифагора, изучались на протяжении многих столетий. Великая теорема Ферма утверждает, что для целых степеней [math]\displaystyle{ k \gt 2 }[/math] уравнение [math]\displaystyle{ a^k + b^k = c^k }[/math] не имеет решения в натуральных числах [math]\displaystyle{ a, b, c }[/math].

В 1769 году Леонард Эйлер, увеличив число слагаемых в уравнении, выдвинул гипотезу, которая в обобщённой форме сводится к тому, что уравнение

[math]\displaystyle{ \sum_{i=1}^{m} x_i^k = \sum_{i=1}^{n} y_i^k }[/math]

не имеет решения в натуральных числах, если [math]\displaystyle{ k \geq m + n }[/math], за исключением тривиального случая, когда корни в левой части уравнения являются перестановкой корней в правой части уравнения. Такие уравнения можно обозначить тройками чисел [math]\displaystyle{ (k, m, n) }[/math][1].

В 1966 году Леон Дж. Ландер (англ. Leon. J. Lander) и Томас Р. Паркин (англ. Thomas. R. Parkin) нашли для [math]\displaystyle{ k = 5 }[/math] контрпример, опровергающий гипотезу Эйлера[2]:

[math]\displaystyle{ 27^5 + 84^5 + 110^5 + 133^5 = 144^5. }[/math]

Для [math]\displaystyle{ k = 4 }[/math] первым контрпример нашёл Ноам Элкис в 1988 году.[3] Наименьшее решение, найденное в том же году (Roger Frye, 1988) таково:

[math]\displaystyle{ 414560^4 + 217519^4 + 95800^4 = 422481^4, }[/math]

Однако для [math]\displaystyle{ k = 6 }[/math] гипотеза Эйлера остаётся открытой.

Гипотеза

В 1967 году Ландер, Паркин и Джон Селфридж[en] предположили[4], что уравнение

[math]\displaystyle{ \sum_{i=1}^{m} x_i^k = \sum_{i=1}^{n} y_i^k }[/math]

может иметь нетривиальное решение в натуральных числах, только если [math]\displaystyle{ k \leq m + n }[/math].

Из великой теоремы Ферма вытекает справедливость гипотезы для случая [math]\displaystyle{ (k, 2, 1), k \gt 3 }[/math] и отсутствие решений для [math]\displaystyle{ (3, 2, 1) }[/math].

Поиск решений уравнений [math]\displaystyle{ ( k, m, n) }[/math] для некоторых степеней оказывается трудной задачей не только для [math]\displaystyle{ k = m + n }[/math], но и для [math]\displaystyle{ k \lt m + n }[/math]. Поиском решений для различных [math]\displaystyle{ ( k, m, n) }[/math] занимаются проекты распределенных вычислений EulerNet[5] и yoyo@home.

Известные решения для (k, m, n), k = m + n

По состоянию на 2006 год известны следующие решения для (k, m, n) при k = m + n:[6]

(4, 2, 2)

[math]\displaystyle{ 158^4+59^4 = 134^4+133^4 }[/math], бесконечно много решений.

(4, 1, 3)

[math]\displaystyle{ 422481^4=414560^4+217519^4+95800^4 }[/math], бесконечно много решений.

(5, 1, 4)

[math]\displaystyle{ 144^5 = 133^5+110^5+84^5+27^5 }[/math], известно 2 решения.

(5, 2, 3)

[math]\displaystyle{ 14132^5+220^5 = 14068^5+6237^5+5027^5 }[/math], известно 1 решение.

(6, 3, 3)

[math]\displaystyle{ 23^6+15^6+10^6 = 22^6+19^6+3^6 }[/math], бесконечно много решений.

(8, 3, 5)

[math]\displaystyle{ 966^8+539^8+81^8 = 954^8+725^8+481^8+310^8+158^8 }[/math], известно 1 решение.

(8, 4, 4)

[math]\displaystyle{ 3113^8+2012^8+1953^8+861^8=2823^8+2767^8+2557^8+1128^8 }[/math], известно 1 решение.

Некоторые решения для (k, k, 1)

k = 3

[math]\displaystyle{ 3^3 + 4^3 + 5^3 = 6^3 }[/math] .

k = 4

[math]\displaystyle{ 30^4+ 120^4+ 272^4+ 315^4= 353^4 }[/math] (R. Norrie, 1911)[4]

k = 5

[math]\displaystyle{ 19^5+ 43^5+ 46^5+ 47^5+ 67^5= 72^5 }[/math] (Lander, Parkin, Selfridge, smallest, 1967)[4]

k = 6

Решения неизвестны.

k = 7

[math]\displaystyle{ 127^7 + 258^7 + 266^7 + 413^7 + 430^7 + 439^7 + 525^7 = 568^7 }[/math] (M. Dodrill, 1999)

k = 8

[math]\displaystyle{ 90^8+ 223^8 + 478^8 + 524^8 + 748^8 + 1088^8 + 1190^8 + 1324^8 = 1409^8 }[/math] (Scott Chase, 2000)

k ≥ 9

Решения неизвестны.

Примечания

  1. ↑ Сам Эйлер рассматривал только случай (k, m, 1).
  2. ↑ L. J. Lander, T. R. Parkin. Counterexample to Euler's conjecture on sums of like powers (англ.) // Bull. Amer. Math. Soc. : journal. — 1966. — Vol. 72. — P. 1079. — doi:10.1090/S0002-9904-1966-11654-3.
  3. ↑ Noam Elkies. On A4 + B4 + C4 = D4 (рум.) // Mathematics of Computation  (англ.) (рус.. — 1988. — Т. 51, nr. 184. — P. 825—835. — doi:10.1090/S0025-5718-1988-0930224-9. — JSTOR 2008781.
  4. ↑ 4,0 4,1 4,2 L. J. Lander, T. R. Parkin, J. L. Selfridge; Parkin; Selfridge. A Survey of Equal Sums of Like Powers (англ.) // Mathematics of Computation  (англ.) (рус. : journal. — 1967. — Vol. 21, no. 99. — P. 446—459. — doi:10.1090/S0025-5718-1967-0222008-0. — JSTOR 2003249.
  5. ↑ EulerNet. Дата обращения: 16 августа 2015. Архивировано 9 декабря 2013 года.
  6. ↑ Math Games, Ed Pegg Jr., Power Sums

Литература

  • Richard K. Guy. Unsolved Problems in Number Theory (неопр.). — 3rd. — New York, NY: Springer-Verlag, 2004. — С. D1. — (Problem Books in Mathematics). — ISBN 0-387-20860-7.

Ссылки

Источник — https://xn--h1ajim.xn--p1ai/index.php?title=Гипотеза_Ландера_—_Паркина_—_Селфриджа&oldid=5868137